tekhnik riset operasional

BAB I
RISET OPERASIONAL


Riset operasional
Pendekatan ilmiah dalam pengambilan keputusan yang melibatkan operasi-operasi dalam sistem organisasi.

Riset operasional diterapkan pada masalah tentang bagaimana memperlakukan dan mengkoordinasikan operasi / kegiatan dalam suatu organisasi.
Misalnya: pada bidang bisnis, industri,militer,agen pemerintah, jasa dll

Pendekatan yang digunakan dengan metode ilmiah
Misalnya: - observasi dan formulasi masalah
- permodelan
- mencari solusi optimal

Perkembangan Riset Operasi tergantung pada ilmu computer dan perkembangan kompuer yang berskala besar dengan perhitungan yang berulang – ulang.




BAB II
PERMODELAN

Permodelan
Suatu hal yang sangat penting dan banyak memberikan bantuan dalam bidang riset operasional.

Model
Suatu penyajian sederhana dari suatu keadaan nyata .
Ex: grafik, rumus, bagan dan gambar.

Bentuk Model
▪ IKONIK
Bentuk dan penampakan yang sama dengan system yang sebenarnya, tetapi biasanya dalam ukuran yang berbeda ( bentuk pilot plan dari suatu pabrik).

▪ ANALOG
Tidak harus sama system yang disajikan (histogram).
▪ SIMBOLIK
Menggunakan huruf, angka, dan symbol lain (paling abstrak).

MODEL MATEMATIS
Melibatkan symbol berupa huruf, angka dan operasi matematis (+, /, ≥, ≤ )
Contoh : F = M*A
- Model matematis deskriptif
Mendeskripsikan beberapa aspek, misal: dt = a + bt
- Model matematis normative
Model dengan masalah pengambilan keputusan, missal : (bentuk dasr)
Maksimumkan (minimumkan) F(x)
Dengan kendala : q1 (x) ≤ b1
q2 (x) ≤ b2
q3 (x) ≤ bm
Dimana :
X: vector peubah keputusan (x1, x2, …..xn)
F(x) : criteria yang harus dioptimisasikan
qi (x) ≤ bi : kendala ke i
FORMULASI MODEL
1. Menentukan jenis model yang akan digunakan
2. 2. Menentukan nilai parameter mode
- nilai konstanta dalam model matematis deskriptif
- bentuk numeric
Contoh kasus
Seorang petani memelihara Babi untuk dijual dipasar dan dia ingin menentukan jumlah kebutuhan pakan dari berbagi jenis yang tersedia untuk diberikan ke babi – babinya agar kebutuhan nutrisi terpenuhi dengan biaya seminimal mungkin. Kandungan nutrisi dari tiap jenis pakan tersebut ( /kg) dapat dilihat pada table berikut, termasuk harganya.
Kandungan jagung tankage alfalfa kebutmin
Nutrisi per - hari
Karbohidrat 90 20 40 200
Protein 30 80 60 180
Vitamin 10 20 60 150
Harga ($) 42 36 30
Formulasikan model matematisnya!
Formulasi model
Mis: X1 = Karbohidrat 1
X2 = Protein 2
X3 = Vitamin 3
Memaksimalkan Z = 200 x1 + 180 x2 + 150 x3
Dengan kendala 90 x1 + 20x2 + 40x3 ≤ 42
30x1 + 80x2 + 60x3 ≤ 36
10x1 + 20x2 + 60 ≤ 30
Dan semua var tidak negative





BAB III
PEMROGRAMAN LINIER

Pemrograman linier :
Suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis yang analisis-analisisnya memakai model matematika, dengan tujuan untuk menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan masalah, lalu dipilih yang terbaik dalam rangka menyusun strategi dan alokasi sumber daya dan dana untuk mencapai tujuan dan sasaran yang diinginkan secara optimal.

Untuk merumuskan suatu masalah kedalam bentuk model pemrograman linier, harus dipenuhi syarat-syarat berikut :
1. Tujuan masalah harus jelas
2. Harus ada sesuatu atau beberapa alternatif yang ingin dibandingkan
3. Adanya sumber daya yang terbatas
4. Bisa dilakukan perumusan kuantitatif
5. Adanya keterkaitan peubah (variabel)

Untuk membentuk model pemrograman linier diterapkan asumsi berikut :
1. Linearity
Fungsi obyektif dan kendalanya merupakan fungsi linier dari variabel keputusan, dan bersifat proporsional dan additif
2. Divisibility
Nilai variabel dapat berupa bilangan pecahan
3. Non Negativity
Nilai variable keputusan harus tidak negatif ( ≥ 0 )
4. Certainty
Semua konstanta mempunyai nilai yang pasti


METODE GRAFIK
Masalah disajikan dalam bentuk grafik dan diinterpretasikan solusinya.
Tahapan metode grafik :
1. Identifikasi variabel keputusan
2. Identifikasi fungsi obyektif
3. Identifikasi kendala-kendala
4. Menggambarkan bentuk grafik dari semua kendala
5. Identifikasi daerah solusi yang layak
6. Menggambarkan bentuk grafik dari fungsi obyektif dan menentukan titik yang memberikan nilai obyektif optimal pada daerah solusi yang layak
7. Mengartikan solusi yang diperoleh


METODE SIMPLEKS
Digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier yang mempunyai 2 variabel atau lebih.
Diperkenalkan oleh George B. Dantzig.
Didasarkan pada proses iterasi, dimana diawali dengan penentuan solusi awal.

Tahapan :

Masalah Pemrograman Linier

Formulasi Model Pemrograman Linier
(Pada umumnya berbentuk maksimisasi)

Bentuk Baku Pemrograman Linier

Prosedur Algoritma Simpleks




Pengubahan kedalam bentuk baku
♣ Pengubahan kendala
1. Bentuk ≤
Diubah menjadikan = dengan menambahkan var. slack (var. kurang)
2. Bentuk =
Ditambah car. Artificial (var. buatan)
Var. ini tidak boleh ≠ 0 harus = 0, jika ≠ 0 solusi tidak layak
3. Bentuk ≥
Diubah menjadi = dengan menambahkan var. surplus dan var. artivicial
4. Merupakan nilai kanan negative diubah dengan mengalikan dengan -1
♣ Pengubahan Var
Var. tidak terbatas diubah menjadi var. non negative
X1 var. tak terbatas
X1 = X2 – X3
Dengan X2, X3 Var. non – negative
- maksimumkan Z = x1 + x2
syarat :
X1 + 5X2 ≤ 5
2X1 + X2 ≤ 4
- maksimumkan Z = 80 X1 + 60 X2
dengan kendala :
0,20 X1 + 0,32 X2 ≤ 0,25
X1+ X2 = 1
Dan X1 dan X2 tak – negatif
- maksimumkan Z = 5X1 + 2X2
dengan kendala :
6X1 + X2 ≥ 6
4X1 + 3X2 ≥ 12
X1 + 2X2 ≥ 4
Dan X1 dan X2 tak - negatif

ALGORITMA SIMPLEKS
1. Menentukan kolom kerja
2. Membuat nilai perbandingan antara NK dengan nilai kolom kerja untuk setiap baris, kecuali baris fungsi obyektif
3. Merubah nilai pada baris pivot
4. Merubah var. dasar
5. Merubah semua nilai pada baris, selain baris pivot
6. Memeriksa apakah masih terdapat nilai negatif pada baris fungsi obyektif

Contoh kasus
Sebuah perusahaan Bakery memproduksi 2 jenis roti yaitu Roti A dan B. Bahan baku utama kedua Roti sama yaitu tepung terigu, gula, dan mentega. Roti A membutuhkan 50 gr tepung terigu, 25 gr gula dan 10 gr mentega untuk setiap potongnya. Sedangkan roti B membutuhkan 60 gr tepung terigu, 20 gr gula dan 12 gr mentega. Diasumsikan permintaan konsumen sesuai dengan jumlah produksi, tentukan jumlah Roti A dan Roti B yang harus diproduksi untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal, bila :
- Harga jual Roti A Rp 700 / potong
- Harga jual Roti B Rp 600 / potong
- Tepung terigu yang tersedia 10 kg
- Gula pasir yang tersedia 4 kg
- Mentega yang tersedia 2 kg

Jawab :
Formulasi model
Mis : X1 = ∑ Roti A
X2 = ∑ Roti B
Memaksimumkan Z = 700X1 + 600 X2
Dengan kendala 50 X1 + 60X2 ≤ 10000
25 X1 + 20X2 ≤ 4000
10 X1 + 12X2 ≤ 2000
dan semua var. tidak negatif

Diubah menjadi bentuk baku
Memaksimalkan Z = 700x1 + 600x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5
Dengan kendala 50X1 + 60X2 +X3 = 10000
25X1 + 20X2 + X4 = 4000
10X1 + 12X2 + X5 = 2000
Tabel 1 (simplek awal)
Var dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK
Z 1 -700 -600 0 0 0 0
X3 0 50 60 1 0 0 10000
X4 0 25 20 0 1 0 4000
X5 0 10 12 0 0 1 2000
10000 = 200 4000 = 160 2000 = 200
50 25 10

Var. dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK
Z 1 0 -40 0 28 0 112.000
X3 0 0 20 1 -2 0 2000
X1 0 1 0,8 0 0,04 0 160
X5 0 0 4 0 -0,04 1 400
2000 = 100 160 = 200 400 = 100
20 0,8 4

Var dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK
Z 1 0 0 0 24 10 116000
X3 0 0 0 1 0 -5 0
X1 0 1 0 0 0,12 -0,2 80
X2 0 0 1 0 -0,1 0,25 100

X1 = 80 X2= 100 X3= 0 X4= 0 X5= 0
Z = 116.000

Penggunaan BIG M
▪ Dipergunakan bila pada kendala ditemui penggunaan var. artificial
≥, =
▪ Konstanta M berarti bil. Yang sangat besar
Rumus
Cj = V. Vj – Cj
Dimana :
C”j : koefisien baru untuk var. j pada fungsi tujuan
V : vector baris koefisien var basis pada fungsi tujuan
Vj : vector kolom koefisien var j pada kendala
Cj : koefisien var j pada fungsi tujuan

Contoh: menggunakan bentuk baku
C’X1 = [ 0 M M ] 1 - (-3) = -6M +3
-4
-2
C’X2 = [0 M M ] -2 - 1 = M -1
1
0
C’X4 = [ 0 M M ] 1 - 0 = 0
0
0
C’X5 = [ 0 M M ] 0 - 0 = -M
-1
0
C’X6 = [ O M M ] 0 - M = 0
1
0
C’X7 = [ 0 M M ] 0 - M = 0
0
1
C’NK = [ O M M ] 11 - 0 = 4M
3
1
Sehingga table simpleks awal sbb :
Var Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 NK
Dsr
Z 1 -6M +3 M-1 3M-1 0 -M 0 0 4M
X4 0 1 -2 1 1 0 0 0 11
X6 0 -4 1 2 0 -1 1 0 3
X7 0 -2 0 1 0 0 0 1 1

Minimisasi
● Dasar perhitungan untuk menyelesaikan masalah minimisasi sama dengan masalah maksimisasi, tetapi untuk pemilihan kolom kerja dipilih kolom nilai positif terbesar.
● Cara lain : kalikan fungsi obyektif dengan -1
Sehingga minimisasi menjadi masalah maksimisasi.
Lat :
Min Z = X1 + 2X2
Kendala 2X1 + 3X2 ≥ 12
3X1 + 7X2 ≥ 21
X1, X2 ≥ 0
Max Z = 2X1 + 4X2
Kendala X1 + 3X2 ≤ 12
5X1 + 6X2 ≥ 30
X1, X2 ≥ 0





BAB IV
DUALITAS

Dualitas
Masalah dual menggunakan parameter yang sama dengan bentuk primal
Property hub. Primal – dual.
♦ weak duality property
CX ≤ Yb
♦ strong duality property
CX* = Y *b
♦ complementary solution property
cX= Yb
♦ complementary optimal solution property
CX* = Y*B
Yi adalahshadow price bagi masalah primal
♦ Symmetry property
Masalah primal dan bentuk dual, hubungannya harus simetris,karena bentuk dual dari masalah dual adalah masalah primalnya.

Lat
Maks Z = 2X1 + 7X2 + 4X3
Kendala X1 + 2X2 + X3 ≤ 10
3X1 + 3X2 2X3 ≤ 10
X1, X2 , X3 ≥ 0
Maks Z = 3X1 + 5X2 + - 8X3
Kendala X1 + X2 + 2X3 ≤ 1
2X1 - X3 ≤ 1
X1,X2,X3 ≥ 0
Min Z = 3X1 + 5X2 – 8X3
Kendala X1 – 2X2 + 3X3 ≤ 1
X2 + 3X2 – X3 ≥ 7
X1, X2 ≥ 0, X3 tidak terbatas



BAB V
MASALAH TRANSPORTASI
Masalah Taransportasi
Merupakan masalah pemrograman linier khususnya yang dikatakan paling penting.
Pendekatan ini pertama kali di cetus kan oleh Hitch Cock dan dijelaskan lebih menditail oleh Koopmans.

Contoh soal
Perusahaan P dan T adalah pengalengan buah pir dilakukan di 3 pabrik pengalengan, kemudian dikirimkan dengan menggunakan truk ke empat gudang distribusi. Disebabkan oleh membengkaknya biaya pengiriman pihak manajemen memulai sesuatu studi untuk menurunkan biaya pengiriman untuk musim yang akan datang. Suatu prakiraan tentang out put dari tiap pabrik telah dibuat, juga dengan perkiraan tentang jumlah yang akan dialokasikan ditiap gudang distribusi informasi tersebut, berikut dengan biaya pengiriman permuatan truk untuk tiap kombinasi pabrik – gudang daapat dilihat pada table berikut.

Sumber \ tujuan 1 2 3 4 out put
1 464 513 654 867 75
Pabrik 2 352 416 690 791 125
3 995 682 388 685 100
Alokasi 80 65 70 85

Jadi totalnya ada 300 muatan truk yang akan dikirimkan masalahnya adalah menentukan penugasan pengiriman pada berbagai kombinasi pabrik gudang yang akan meminimunkan total biaya pengiriman

Minimumkan Z = 464x11 + 513X12 + 654X13 +867X14
352X12 +416X22 + 690X23 + 791X24
995X31 + 682X32 +388X33 + 685X34
Dengan kendala
X11 + X12 + X13 + X14 = 75
X21 + X22 +X23 +X24 = 125
X31 + X32 + X33 +X34 = 100
X11 + X21 + X31 = 80
X12+ X22 + X32 = 65
X13 + X23 + X33 = 70
X14 + X24 + X34 = 85
Xij ≥ 0 (Ci = 1,2,3 j = 1,2,3,4)
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12
464 513 654 867 352 416 690 791 995 682 388 685
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

FORMULASI TRANSPORTASI
CONTOH :
Andaikan inggris, prancis dan spanyol memproduksi kebutuhan akan gandum, barley dan oat. Untuk memproduksi barley dibutuhkan lahan seluas 60 juta hektar dan prod.oat 75 juta hekta. Luas lahan yang dapat digunakan untuk memproduksi 3 jenis tanaman pangan adalah 70 juta hektar, 110 juta hektar dan 80 juta hektar. Jumlah jam kerja 1 hektar lahan gandum berturut – turut 18,13 dan 16, sedangkan parley 15,12,dan 12 jam kerja dan oat 12,10.dan 16 jam kerja.upah kerja per jam untuk setiap Negara $3,00, $2,40 dan $3,30, untuk lahan barley $2,70, $3,00 dan $2,80 per jam dan oat $2,30, $2,50 dan $2,10 per jam.bagaiman mengalokasikan penggunaan lahan ditiap Negara untuk memenuhi kebutuhan dunia dan untuk meminimumkan upah kerja total yang dibayarkan.
Jawab :
Dari\ke gandum barley oat
Inggris 18 x 3,00 15 x 2,70 12 x 2,30 70
Perancis 13 x 2,40 12 x 3,00 10 x 2,50 110
Spanyol 16 x 3,30 12 x 2,80 16 x 2,10 80
125 60 75
Dari \ ke gandum barley oat supply
Inggris 54,0 40,5 27,6 70
Perancis 31,2 36,0 25,0 110
Spanyol 52,8 33,6 33,6 80
Demand 125 60 75

Prosedur dalam metode transportasi
Russel
Tentukan biaya terbesar dalam tiap daris dan kolom.

Δij = Cij – ui – vj
U1 = 54,0 v1 = 54,0
U2 = 36,0 v2 = 40,5
U3 = 52,8 v3 = 33,6

Δ11 = 54,0 – 54,0 – 5,40 = -54,0
Δ12 = 40,5 – 54,0 – 40,5 = -54,0
Δ13 = 27,6 – 54,0 – 33,6 = -60,0
Δ21 = 31,2 – 36,0 – 54,0 = -58,8
Δ22 = 36,0 – 36,0 – 46,0 = -40,5
Δ23 = 25,0 - 36,0 – 33,6 = - -44,6
Δ31 = 52,8 – 52,8 – 54,0 = -54,0
Δ32 = 33,6 – 52,8 – 40,5 = -59,7
Δ33 = 33,6 – 52,8 – 33,6 = -52,8

U2 = 36,0 v1 = 52,8
U3 = 52,8 v2 = 36,0
V3 = 33,6
Δ21 = 31,2 – 36,0 – 52,8 = -57,60
Δ22 = 36,0 – 36,0 – 36,0 = -36,0
Δ23 = 25,0 – 36,0 – 33,6 = -44,6
Δ31 = 52,8 – 52,8 – 36,0 = -52,8
Δ32 = 33,6 – 52,8 – 36,0 = -55,2
Δ33 = 33,6 – 52,8 – 33,6 = -52,8
METODA
Northwest corner Least cost
70 70
55 55 35 75
5 75 20 60

Vogel russel
a. 15 55 70
110 110
5 75 15 60 5

b. 70
110
15 60 5





Solusi optimal
Dari\ke gandum barley oat supply
Inggris 54.0 40,5 27,6 70
Perancis 31,2 36,0 25,0 110
Spanyol 52,8 33,6 33,6 80
Demand 125 60 75

Metode modi
● menentukan nilai Uj untuk setiap baris
Vj untuk setiap kolom
Dengan rumus Cj = Ui + Vj
Contoh: Alokasi BIAYA
N. W. C 70 U1 54,0 40,5 27,6
55 55 U2 31,2 36,0 25,0
5 75 U3 52,8 33,6 33,6
V1 V2 V3
● Dibawah ini dengan memilih baris / kolom yang telah terisi terbanyak
Mialnya baris 2 U2 = 0
C31 = U2 +V1 V1 = C21 – U2 = 31,2 – 0 = 31,2
C22 = U2 + V2 V2 = C22 – U2 = 36,0 – 0 =31,2
C32 = U3 +V2 U3 = C32 – V2 = 33,6 – 33,6 = -2,4
C33 = U3 +V3 V3 = C33 – U3 = 33,6 – (-2,4) = 36,0
C11 = U1 +V1 U1 = C11 – V1 = 54,0 – 31,2 = 22,8
● MENENTUKAN KOTAK KOSONG DENGAN RUMUS
Cij – Ui – Vj
Jadi 70 18,3 -31,2
55 55 -11
24,0 5 75
Belum optimal



BAB VI
PENEMPATAN KARYAWAN
Contoh kasus
Sebuah perusahaan restoran swalayan (fast food) ingin membangun empat buah took di daerah perkotaan bandung. Dimasa lalu, perusahaan ini telah menggunakan enam perusahaan bangunan yang berbeda dan merasa puas dengan hasil kerja masing – masing perusahaan ini. Karena itu ia menawarkan mereka tiap – tiap pekerjaan ini. Tawaran terakhir (dalam ribuan dolar ) tersaji dalam table berikut.
1 2 3 4 5 6
Toko 1 85,3 88 87,5 82,4 89,1 86,7
Toko 2 78,9 77,4 77,4 76,5 79,3 78,3
Toko 3 82 81,3 82,4 80,6 83,5 81,7
Toko 4 84,3 84,6 86,2 83,3 84,4 85,5
Karena peruahaan fast food ini ingin keempat buah toko ini siap secepat mungkin,maka ia akan menghadiahkan paling tinggi satu pekerjaan bagi satu perusahaan bangunan. Penetapan yang manakah yang akan menghasilkan biaya total minimum bagi fast food ini?



BAB VII
GAME THEORY
♠ Pendekatan matematis untuk merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai kepentingan.
♠ Melibatkan 2 / lebih pengambilan keputusan
♠ Kasus didentifikasi berdasarkan :
- Jumlah pemain
- Jumlah keuntungan dan kerugian
- Jenis strategi yang digunakan.
Saddle point dan titik keseimbangan antara nilai pemain kedua pemain
Contoh
Matriks pa – off
Pemain II
1 2 3 strategi pemain II
Pemain 1 -3 -2 6
I 2 2 0 2
3 5 -2 -4
Strategi pemain

Nilai angka + menunjukkan untuk pemain bagian 1 dan pemain ke 2 pemain kolom
Pemain menggunakan :
▪ Maximin (pemain I ) ▪Minimaks (pemain II)
Baris 1 = -3 kolom 1 = 5
Baris 2 = 0 kolom 2 = 0
Baris 3 = -4 kolom 3 = 6
Maks = 0 min = 0
Jika max = min maka terdapat saddle poin, hasil optimal dengan pure strategy
Jika tidak terdapat saddle point dengan menggunakan mixed strategy
Metode yang dapat digunakan pada mixed strategy
- Metode analisis
- Metode grafik
- Metode aljabar matriks
- Metode pemrograman linier