metode simplex

METODE SIMPLEX
(sumber UPN Jogjakarta)


Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memiliki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk menyelesaikannya digunakan Metode Simplex.

Beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan, antara lain:
1. Nilai kanan (NK / RHS) fungsi tujuan harus nol (0).
2. Nilai kanan (RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai tersebut harus dikalikan –1.
3. Fungsi kendala dengan tanda “ ” harus diubah ke bentuk “=” dengan menambahkan variabel slack/surplus. Variabel slack/surplus disebut juga variabel dasar.
4. Fungsi kendala dengan tanda “ ” diubah ke bentuk “ ” dengan cara mengalikan dengan –1, lalu diubah ke bentuk persamaan dengan ditambahkan variabel slack. Kemudian karena RHS-nya negatif, dikalikan lagi dengan –1 dan ditambah artificial variabel (M).
5. Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variabel (M).


Pembuatan Tabel Simplex

Contoh soal:
Z = 3X1 + 5X2
Kendala:
1) 2X1 8
2) 3X2 15
3) 6X1 + 5X2 30

Langkah-langkah:

1. Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala (lihat beberapa ketentuan yang harus diperhatikan di atas!)

Fungsi tujuan
Z = 3X1 + 5X2 => Z - 3X1 - 5X2 = 0

Fungsi kendala
1) 2X1 8 => 2X1 + X3 = 8
2) 3X2 15 => 3X2 + X4 = 15
3) 6X1 + 5X2 30 => 6X1 + 5X2 + X5 = 30
(X3, X4 dan X5 adalah variabel slack)





2. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index


3. Memilih kolom kunci
Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai nilai pada baris Z yang bernilai negatif dengan angka terbesar. Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index


4. Memilih baris kunci Nilai kanan (NK) Nilai kolom kunci

Baris kunci adalah baris yang mempunyai index terkecil Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index







5. Mengubah nilai-nilai baris kunci => dengan cara membaginya dengan angka kunci Baris baru kunci = baris kunci : angka kunci sehingga tabel menjadi seperti berikut: Var.Dsr Z X1


6. Mengubah nilai-nilai selain baris kunci sehingga nilai-nilai kolom kunci
(selain baris kunci) = 0
Baris baru = baris lama – (koefisien angka kolom kunci x nilai baris
baru kunci)

Masukkan nilai di atas ke dalam tabel, sehingga tabel menjadi seperti berikut:












7. Melanjutkan perbaikan-perbaikan (langkah 3-6) sampai baris Z tidak ada
nilai negatif


Diperoleh hasil: X1 = 5/6 , X2 = 5, Zmax = 27 ½

SOAL LATIHAN

1. Selesaikan linear program berikut ini dengan metode Simplex
Maksimumkan Z = 400X1 + 300X2
Fungsi kendala/ batasan:
1) 4X1 + 6X2 1200
2) 4X1 + 2X2 800
3) X1 250
4) X2 300

2. Selesaikan linear program berikut ini dengan metode Simplex
Maksimumkan Z = 2X1 + 3X2 + X3
Dengan fungsi kendala:
1) X1 + X2 + X3 9
2) 2X1 + 3X2 25
3) X2 + 2X3 10
4) X1, X2, X3 0

PENYIMPANGAN - PENYIMPANGAN BENTUK STANDAR

1. Fungsi batasan dengan tanda sama dengan (=)
=> ditambah dengan variabel buatan
Contoh :
Fungsi kendala:
1) 2X1 8 => 2X1 +X3 = 8
2) 3X2 15 => 3X2 +X4 = 15
3) 6X1 + 5X2 = 30 => 6X1 + 5X2 + X5 = 30

Fungsi tujuan:
Z = 3X1 + 5X2 => Z – 3X1 – 5X2 + MX5 = 0
Nilai setiap variabel dasar (X5) harus sebesar 0, sehingga fungsi tujuan harus
dikurangi dengan M dikalikan dengan baris batasan yang bersangkutan (3). Nilai
baris Z sebagai berikut:


Diperoleh hasil : X1 = 5/6, X2 = 5 dan Zmax = 27 ½

2. Fungsi tujuan : Minimisasi
Soal minimisasi harus diubah menjadi maksimisasi dengan cara mengganti tanda
positif dan negatif pada fungsi tujuan.
Contoh:
Minimumkan Z = 3X1 + 5X2
Fungsi batasan: 1) 2X1 = 8
2) 3X2 15
3) 6X1 + 5X2 30
Penyelesaian:
Fungsi batasan: 1) 2X1 + X3 = 8
2) 3X2 + X4 = 15
3) 6X1 + 5X2 -X5 + X6 = 30

Fungsi tujuan menjadi:
maksimumkan (-Z) = -3X1 – 5X2 –MX3 – MX6
diubah menjadi fungsi implisit => -Z + 3X1 + 5X2 + MX3 + MX6 = 0
Nilai – nilai variabel dasar (X3 dan X6 ) harus = 0, maka:


(karena –Z= -18, maka Z=18)
Penyelesaian optimal: X1 = 4, X2 = 6/5 dan Zmin = 18

SOAL LATIHAN
1. Minimumkan Z = 3X1 + 2X2
Fungsi batasan : 1) X1 + 2X2 20
2) 3X1 + X2 20 , X1 0 , X2 0
2. Maksimumkan Z = 4X1 + 10X2 + 6X3
Fungsi batasan: 1) X1 + 3X2 + 3X3 6
2) 2X1 – X2 + 4X3 = 4
X1, X2, X3 0